問題1.4の1番から4番までを解く問題です。 1. 次の連立1次方程式を行列を用いて表し、係数行列、拡大係数行列を求めよ。

1. 問題の内容

問題1.4の1番から4番までを解く問題です。

1. 次の連立1次方程式を行列を用いて表し、係数行列、拡大係数行列を求めよ。

2. 次の行列の方程式と同等な連立1次方程式を求めよ。

3. 次の列ベクトル $a$ が列ベクトル $b_1, b_2$ の1次結合で表すことができるか調べ、表されるならば1次結合で表せ。

4. 次の列ベクトル $a$ が列ベクトル $b_1, b_2$ の1次結合で表すことができるための $a, b$ の条件を求めよ。

2. 解き方の手順

1. (1)

連立一次方程式を行列で表すと、次のようになります。

$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$

係数行列は

$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

(2)

連立一次方程式を行列で表すと、次のようになります。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 8 \\ -4 \end{bmatrix}$

係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{bmatrix}$

2. (1)

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}$

に対応する連立一次方程式は次のようになります。

$2x_1 + x_2 + 3x_3 = 1$

$-x_2 + 2x_3 = 2$

$x_1 - x_3 = -2$

(2)

$\begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$

に対応する連立一次方程式は次のようになります。

$3x_1 + x_3 = -1$

$x_1 - x_2 + 2x_3 = 2$

$x_1 - x_2 + 2x_3 = 0$

3. (1)

$a = c_1 b_1 + c_2 b_2$とおくと、

$\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{cases} 3c_1 + c_2 = -2 \\ -c_1 + c_2 = 1 \end{cases}$

この連立方程式を解くと、$c_1 = -\frac{3}{4}$, $c_2 = \frac{1}{4}$

したがって、$a = -\frac{3}{4}b_1 + \frac{1}{4}b_2$

(2)

$a = c_1 b_1 + c_2 b_2$とおくと、

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{cases} c_1 + 2c_2 = 1 \\ 3c_1 + 3c_2 = 2 \\ c_2 = 1 \end{cases}$

$c_2 = 1$より、$c_1 = -1$

$3c_1 + 3c_2 = -3 + 3 = 0 \neq 2$

したがって、aはb1とb2の一次結合で表すことはできない。

4. (1)

$a = c_1 b_1 + c_2 b_2$とおくと、

$\begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{cases} c_1 + 2c_2 = a \\ 2c_1 + 3c_2 = 2 \\ c_1 + c_2 = 3 \end{cases}$

第3式より、$c_1 = 3 - c_2$

第2式に代入すると、$2(3-c_2) + 3c_2 = 2$

$6 - 2c_2 + 3c_2 = 2$

$c_2 = -4$

$c_1 = 3 - (-4) = 7$

第1式に代入すると、$7 + 2(-4) = a$

$a = 7 - 8 = -1$

(2)

$a = c_1 b_1 + c_2 b_2$とおくと、

$\begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\begin{cases} c_1 + 2c_2 = 0 \\ -c_1 + c_2 = a \\ c_1 + 3c_2 = b \end{cases}$

第1式より、$c_1 = -2c_2$

第2式に代入すると、$-(-2c_2) + c_2 = a$

$3c_2 = a$

$c_2 = \frac{a}{3}$

$c_1 = -2c_2 = -\frac{2a}{3}$

第3式に代入すると、$c_1 + 3c_2 = b$

$-\frac{2a}{3} + 3(\frac{a}{3}) = b$

$\frac{a}{3} = b$

$a = 3b$

3. 最終的な答え

1. (1)

係数行列: $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

拡大係数行列: $\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

(2)

係数行列: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

拡大係数行列: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{bmatrix}$

2. (1)

$2x_1 + x_2 + 3x_3 = 1$

$-x_2 + 2x_3 = 2$

$x_1 - x_3 = -2$

(2)

$3x_1 + x_3 = -1$

$x_1 - x_2 + 2x_3 = 2$

$x_1 - x_2 + 2x_3 = 0$

3. (1)

$a = -\frac{3}{4}b_1 + \frac{1}{4}b_2$

(2)

aはb1とb2の一次結合で表すことはできない。

4. (1)

$a = -1$

(2)

$a = 3b$