数列 $\{a_n\}$ が、初期条件 $a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - n$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初期条件 $a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - n$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $a_{n+1} - 2a_n = -n$ と変形します。

この漸化式を解くために、特性方程式 $x = 2$ を考えます。この解は $x=2$ です。

そこで、$a_n = b_n + cn + d$ の形を仮定して、与えられた漸化式に代入します。

$a_{n+1} = b_{n+1} + c(n+1) + d$ なので、

$b_{n+1} + c(n+1) + d = 2(b_n + cn + d) - n$

$b_{n+1} + cn + c + d = 2b_n + 2cn + 2d - n$

$b_{n+1} - 2b_n = (2c-c-1)n + (2d-c-d)$

$b_{n+1} - 2b_n = (c-1)n + (d-c)$

これがすべての $n$ について成立するためには、

$c - 1 = 0$ かつ $d - c = 0$ である必要があります。

したがって、$c=1$ かつ $d=1$ となります。

つまり、$a_n = b_n + n + 1$ と表されます。

元の漸化式に代入すると、

$b_{n+1} + (n+1) + 1 = 2(b_n + n + 1) - n$

$b_{n+1} + n + 2 = 2b_n + 2n + 2 - n$

$b_{n+1} = 2b_n + n - n$

$b_{n+1} = 2b_n$

これは等比数列であるため、$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}$ と表せます。

$a_1 = b_1 + 1 + 1 = 3$ より、$b_1 = 1$ となります。

したがって、$b_n = 2^{n-1}$ となります。

よって、$a_n = 2^{n-1} + n + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + n + 1$