定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = -x^2 - ax + a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最大値 $M$ を $a$ で表す問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = -x^2 - ax + a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最大値 $M$ を $a$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -x^2 -ax + a^2 = -(x^2 + ax) + a^2 = -(x + \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} + a^2 = -(x + \frac{a}{2})^2 + \frac{5}{4}a^2$

よって、頂点の座標は $(-\frac{a}{2}, \frac{5}{4}a^2)$ となります。

次に、定義域 $0 \le x \le 1$ と頂点の $x$ 座標 $-\frac{a}{2}$ の位置関係によって場合分けを行います。

(i) $-\frac{a}{2} \le 0$ つまり $a \ge 0$ のとき

このとき、頂点は定義域の左側にあります。

もし、$-\frac{a}{2} \le 0$ かつ $0 \le -\frac{a}{2}$ であれば、頂点は定義域の中にあります。

そうでない場合、頂点は定義域の外にあります。

軸は $x = -\frac{a}{2}$ なので、これは $a \ge 0$ と同値です。

$x=0$ のとき $y=a^2$, $x=1$ のとき $y = -1 -a + a^2$ です。

$a^2 - (-1-a+a^2) = a + 1 > 0$ ($a\ge0$より) なので、$x=0$のとき最大値 $M = a^2$ となります。

$-\frac{a}{2} \le 0$ かつ $-\frac{a}{2} \le 1$ すなわち、 $a \ge -2$ です。

(ii) $-\frac{a}{2} \ge 1$ つまり $a \le -2$ のとき

頂点は定義域の右側にあります。$x=1$ で最大値を取り、$M = -1 - a + a^2$ となります。

(iii) $0 < -\frac{a}{2} < 1$ つまり $-2 < a < 0$ のとき

頂点は定義域の中にあります。頂点で最大値を取り、$M = \frac{5}{4}a^2$ となります。

場合分けをまとめると：

$a \le -2$ のとき $M = a^2 - a - 1$

$-2 < a < 0$ のとき $M = \frac{5}{4}a^2$

$a \ge 0$ のとき $M = a^2$

3. 最終的な答え

$M =

\begin{cases}

a^2 - a - 1 & (a \le -2) \\

\frac{5}{4}a^2 & (-2 < a < 0) \\

a^2 & (a \ge 0)

\end{cases}$