$x = a^2 + \frac{1}{a^2}$ のとき、$\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}$ を簡単にせよ。ただし、$0 < a < 1$とする。

1. 問題の内容

$x = a^2 + \frac{1}{a^2}$ のとき、$\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}$ を簡単にせよ。ただし、$0 < a < 1$とする。

2. 解き方の手順

まず、$x+2$ と $x-2$ を計算します。

$x+2 = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$

$x-2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$

これらをそれぞれ因数分解します。

$x+2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2$

$x-2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = (a - \frac{1}{a})^2$

したがって、

$\sqrt{x+2} = \sqrt{(a + \frac{1}{a})^2} = |a + \frac{1}{a}|$

$\sqrt{x-2} = \sqrt{(a - \frac{1}{a})^2} = |a - \frac{1}{a}|$

ここで、$0 < a < 1$ より、$\frac{1}{a} > 1$ であるため、$a + \frac{1}{a} > 0$ かつ $a - \frac{1}{a} < 0$ となります。

よって、

$|a + \frac{1}{a}| = a + \frac{1}{a}$

$|a - \frac{1}{a}| = -(a - \frac{1}{a}) = \frac{1}{a} - a$

したがって、

$\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2} = (a + \frac{1}{a}) + (\frac{1}{a} - a) = a + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} - a = \frac{2}{a}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{a}$