$x = a^2 + \frac{1}{a^2}$ のとき、$\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}$ を簡単にせよ。ただし、$a > 1$ とする。

1. 問題の内容

$x = a^2 + \frac{1}{a^2}$ のとき、$\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}$ を簡単にせよ。ただし、$a > 1$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の値を $\sqrt{x+2}$ と $\sqrt{x-2}$ に代入します。

$\sqrt{x+2} = \sqrt{a^2 + \frac{1}{a^2} + 2}$

$\sqrt{x-2} = \sqrt{a^2 + \frac{1}{a^2} - 2}$

根号の中身を因数分解します。

$\sqrt{x+2} = \sqrt{a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}} = \sqrt{\left(a + \frac{1}{a}\right)^2}$

$\sqrt{x-2} = \sqrt{a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}} = \sqrt{\left(a - \frac{1}{a}\right)^2}$

$a > 1$ なので、$a + \frac{1}{a} > 0$ であり、$a - \frac{1}{a} > 0$ です。したがって、

$\sqrt{\left(a + \frac{1}{a}\right)^2} = a + \frac{1}{a}$

$\sqrt{\left(a - \frac{1}{a}\right)^2} = a - \frac{1}{a}$

これらを $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}$ に代入します。

$\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2} = \left(a + \frac{1}{a}\right) + \left(a - \frac{1}{a}\right) = 2a$

3. 最終的な答え

$2a$