問題Aでは、頂点が(1, 8)でx軸と異なる2点A, Bで交わり、AB = 4を満たす2次関数を求める。問題Bでは、問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動し、x軸と異なる2点C, Dで交わり、CD = 6を満たし、点(1, 10)を通る2次関数を求める。さらに、グラフの概形、数値を埋める問題や、x軸との交点を表す式を求める問題がある。

1. 問題の内容

問題Aでは、頂点が(1, 8)でx軸と異なる2点A, Bで交わり、AB = 4を満たす2次関数を求める。問題Bでは、問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動し、x軸と異なる2点C, Dで交わり、CD = 6を満たし、点(1, 10)を通る2次関数を求める。さらに、グラフの概形、数値を埋める問題や、x軸との交点を表す式を求める問題がある。

2. 解き方の手順

(1) (ア)に当てはまるグラフを選ぶ。頂点が(1, 8)で上に凸のグラフであるから、選択肢の中から2番が適切である。

(イ)～(エ)に当てはまる数を求める。問題Aの条件から、2次関数は $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$の形で表される。軸が $x=1$ であることと、$AB=4$ より、AとBのx座標はそれぞれ $1-2 = -1$、$1+2 = 3$ となる。従って、2次関数は $y = a(x+1)(x-3)$ と表せる。頂点のy座標が8であるから、$x=1$ を代入すると $8 = a(1+1)(1-3) = a(2)(-2) = -4a$。よって、$a = -2$ となる。

(オ)(カ)に当てはまる式を求める。問題Bでは、x軸との交点のx座標を $p-3$、$p+3$とする。

(2)(ii) 問題Bを解く。

問題Aで求めた2次関数は、$y = -2(x+1)(x-3) = -2(x^2 - 2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6$ である。

問題Bでは、このグラフを平行移動したグラフで、x軸との交点C, D間の距離が6である。

軸を $x=p$とすると、x軸との交点のx座標は $p-3$ と $p+3$ となる。従って、2次関数は $y = -2(x-(p-3))(x-(p+3))$と表せる。

また、点(1, 10)を通るので、 $10 = -2(1-(p-3))(1-(p+3)) = -2(4-p)(-2-p) = -2(p^2-2p-8)$

$10 = -2p^2 + 4p + 16$

$2p^2 - 4p - 6 = 0$

$p^2 - 2p - 3 = 0$

$(p-3)(p+1) = 0$

$p = 3$ または $p = -1$

$p=3$ のとき、 $y = -2(x-0)(x-6) = -2x(x-6) = -2x^2+12x$

$p=-1$ のとき、 $y = -2(x+4)(x+2) = -2(x^2+6x+8) = -2x^2-12x-16$

3. 最終的な答え

(1) (ア) 2

(イ) 1

(ウ) 3

(エ) -2

(2) (i) (オ) $p-3$

(カ) $p+3$

(ii) $y = -2x^2+12x$ または $y = -2x^2-12x-16$