2つの不等式 $|x+1|<2$ と $|x-2|>k$ をともに満たす整数 $x$ が1個だけ存在するように、定数 $k$ の値の範囲を定め、そのときの整数 $x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの不等式 $|x+1|<2$ と $|x-2|>k$ をともに満たす整数 $x$ が1個だけ存在するように、定数 $k$ の値の範囲を定め、そのときの整数 $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $|x+1|<2$ を解きます。

$-2 < x+1 < 2$

$-3 < x < 1$

この不等式を満たす整数 $x$ は、$-2, -1, 0$ です。

次に、不等式 $|x-2|>k$ を考えます。この不等式は、$x-2>k$ または $x-2<-k$ と同値です。

したがって、$x>2+k$ または $x<2-k$ となります。

$|x+1|<2$ と $|x-2|>k$ をともに満たす整数 $x$ が1個だけ存在するように $k$ の値を定めます。

(i) 整数 $x$ が $x = -2$ のとき

$x=-2$ が $|x-2|>k$ を満たすので、$|-2-2|>k$ すなわち $|-4|>k$ より $4>k$ です。

$x=-1$ は $|x-2|>k$ を満たさないので、$|-1-2| \le k$ すなわち $3 \le k$ です。

したがって、$3 \le k < 4$ であり、$x=-2$ が唯一の整数解となります。

(ii) 整数 $x$ が $x = -1$ のとき

$x=-1$ が $|x-2|>k$ を満たすので、$|-1-2|>k$ すなわち $|-3|>k$ より $3>k$ です。

$x=-2$ は $|x-2|>k$ を満たさないので、$|-2-2| \le k$ すなわち $4 \le k$ です。

これは矛盾するので、$x=-1$ が唯一の整数解となることはありません。

(iii) 整数 $x$ が $x = 0$ のとき

$x=0$ が $|x-2|>k$ を満たすので、$|0-2|>k$ すなわち $|-2|>k$ より $2>k$ です。

$x=-1$ は $|x-2|>k$ を満たさないので、$|-1-2| \le k$ すなわち $3 \le k$ です。

これは矛盾するので、$x=0$ が唯一の整数解となることはありません。

したがって、$3 \le k < 4$ のとき、整数解は $x = -2$ のみです。

3. 最終的な答え

$k$ の値の範囲は $3 \le k < 4$ であり、そのときの整数 $x$ は $x = -2$ です。