与えられた式 $x^3 - 2x^2y - 6xy^2 + 27y^3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 - 2x^2y - 6xy^2 + 27y^3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式をよく観察すると、立方和や立方差の公式が使える形にはなっていない。そこで、まずは式を整理して、因数定理が使えるかどうかを試す。

$x^3 - 2x^2y - 6xy^2 + 27y^3$

$x$ の関数とみなして $y$ を定数とみなす。因数定理を使うために、式に $x = ay$ を代入して $0$ になる $a$ を探す。

$x = -3y$ を代入すると、

$(-3y)^3 - 2(-3y)^2y - 6(-3y)y^2 + 27y^3 = -27y^3 - 18y^3 + 18y^3 + 27y^3 = 0$

となる。

したがって、$x+3y$ を因数にもつ。

$x^3 - 2x^2y - 6xy^2 + 27y^3$ を $x+3y$ で割る。

筆算を行うと、商は $x^2 - 5xy + 9y^2$ となる。

よって、

$x^3 - 2x^2y - 6xy^2 + 27y^3 = (x+3y)(x^2 - 5xy + 9y^2)$

3. 最終的な答え

$(x+3y)(x^2-5xy+9y^2)$