$f(x) = ax + b$、$g(x) = x + c$という2つの1次関数があり、合成関数$(f \circ g)(x) = 2x + 3$、$(g \circ f)(x) = 2x + 1$が与えられています。このとき、定数$a, b, c$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$f(x) = ax + b$、$g(x) = x + c$という2つの1次関数があり、合成関数$(f \circ g)(x) = 2x + 3$、$(g \circ f)(x) = 2x + 1$が与えられています。このとき、定数$a, b, c$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数を計算します。

$f(g(x)) = a(x+c) + b = ax + ac + b$

$g(f(x)) = (ax+b) + c = ax + b + c$

与えられた条件から、

$f(g(x)) = ax + ac + b = 2x + 3$

$g(f(x)) = ax + b + c = 2x + 1$

これらの式から、$x$の係数と定数項を比較することで、次の連立方程式を得ます。

$a = 2$

$ac + b = 3$

$b + c = 1$

$a = 2$を$ac + b = 3$に代入すると、

$2c + b = 3$

$2c + b = 3$と$b + c = 1$から、$b$を消去します。

$2c + b - (b + c) = 3 - 1$

$c = 2$

$c = 2$を$b + c = 1$に代入すると、

$b + 2 = 1$

$b = -1$

したがって、$a = 2, b = -1, c = 2$となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -1$

$c = 2$