関数 $f(x) = \frac{3x + 2}{x + a}$ について、$ (f \circ f)(x) = x $ が成り立つような定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x + 2}{x + a}$ について、$(f \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(f(x))$ を計算する。

$f(f(x)) = f(\frac{3x+2}{x+a}) = \frac{3(\frac{3x+2}{x+a})+2}{\frac{3x+2}{x+a}+a}$

この式を整理する。分子と分母に $x+a$ を掛ける。

$f(f(x)) = \frac{3(3x+2)+2(x+a)}{3x+2+a(x+a)} = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2} = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2}$

問題文より $f(f(x)) = x$ なので、

$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = x$

$11x+6+2a = x((3+a)x+2+a^2)$

$11x+6+2a = (3+a)x^2+(2+a^2)x$

これがすべての $x$ について成り立つためには、$x^2$ の係数が0である必要があるので、

$3+a=0$ より $a=-3$ 。

このとき $f(f(x)) = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = \frac{11x+6+2(-3)}{0x+2+(-3)^2} = \frac{11x}{11} = x$

となる。

他に解がないか確認するため、恒等式から考える。

$11x+6+2a = (2+a^2)x + (3+a)x^2$ が $x$ についての恒等式なので、$x^2$ の係数が0、 $x$ の係数が11、定数項が0である必要がある。

したがって、$3+a = 0$ より $a=-3$ であり、$2+a^2 = 11$ を満たす。そして、$6+2a = 0$ より $2a=-6$ であり、$a=-3$ となる。

したがって、$a=-3$ だけが条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a = -3$