与えられた対数の式を計算し、値を求める問題です。式は以下の通りです。 $2 \log_{10} \frac{5}{3} - \log_{10} \frac{7}{4} + 2 \log_{10} 3 + \frac{1}{2} \log_{10} 49$

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算し、値を求める問題です。式は以下の通りです。

$2 \log_{10} \frac{5}{3} - \log_{10} \frac{7}{4} + 2 \log_{10} 3 + \frac{1}{2} \log_{10} 49$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を整理します。

* $n \log_a x = \log_a x^n$ を用いて、係数を対数の中に入れます。

$2 \log_{10} \frac{5}{3} = \log_{10} (\frac{5}{3})^2 = \log_{10} \frac{25}{9}$

$2 \log_{10} 3 = \log_{10} 3^2 = \log_{10} 9$

$\frac{1}{2} \log_{10} 49 = \log_{10} 49^{\frac{1}{2}} = \log_{10} \sqrt{49} = \log_{10} 7$

与式は次のようになります。

$\log_{10} \frac{25}{9} - \log_{10} \frac{7}{4} + \log_{10} 9 + \log_{10} 7$

* $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ および $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$ を用いて、対数をまとめます。

$\log_{10} \frac{25}{9} - \log_{10} \frac{7}{4} = \log_{10} \frac{\frac{25}{9}}{\frac{7}{4}} = \log_{10} (\frac{25}{9} \cdot \frac{4}{7}) = \log_{10} \frac{100}{63}$

したがって、与式は次のようになります。

$\log_{10} \frac{100}{63} + \log_{10} 9 + \log_{10} 7 = \log_{10} (\frac{100}{63} \cdot 9 \cdot 7) = \log_{10} (\frac{100}{63} \cdot 63) = \log_{10} 100$

* $\log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2$

3. 最終的な答え

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