$f(x) = ax + b$、 $g(x) = x + c$という2つの関数について、合成関数 $(f \circ g)(x) = 2x + 3$ と $(g \circ f)(x) = 2x + 1$ が与えられているとき、定数$a$, $b$, $c$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$f(x) = ax + b$、 $g(x) = x + c$という2つの関数について、合成関数 $(f \circ g)(x) = 2x + 3$ と $(g \circ f)(x) = 2x + 1$ が与えられているとき、定数$a$, $b$, $c$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の定義から $(f \circ g)(x)$ と $(g \circ f)(x)$ を計算します。

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+c) = a(x+c) + b = ax + ac + b$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(ax+b) = (ax+b) + c = ax + b + c$

問題で与えられた式とこれらの式を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$ax + ac + b = 2x + 3$

$ax + b + c = 2x + 1$

係数を比較すると、

$a = 2$

$ac + b = 3$

$b + c = 1$

$a = 2$ を $ac + b = 3$ に代入すると、

$2c + b = 3$

$b + c = 1$

2つの式を引き算すると、

$(2c + b) - (b + c) = 3 - 1$

$c = 2$

$b + c = 1$ に $c = 2$ を代入すると、

$b + 2 = 1$

$b = -1$

よって、$a = 2$, $b = -1$, $c = 2$となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -1$

$c = 2$