問題は $64x^6 - 1$ を因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は $64x^6 - 1$ を因数分解することです。

2. 解き方の手順

まず、$64x^6$ と $1$ をそれぞれ何かの2乗の形で表します。

$64x^6 = (8x^3)^2$ であり、$1 = 1^2$ です。

したがって、$64x^6 - 1 = (8x^3)^2 - 1^2$ となります。

次に、因数分解の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$a = 8x^3$、$b = 1$ とすると、

$64x^6 - 1 = (8x^3 + 1)(8x^3 - 1)$ となります。

ここで、$8x^3$ は $(2x)^3$ であり、$1$ は $1^3$ であることに注目します。

したがって、$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3$ および $8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3$ となります。

さらに、因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ と $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用します。

$a = 2x$、$b = 1$ とすると、

$(2x)^3 + 1^3 = (2x+1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) = (2x+1)(4x^2 - 2x + 1)$

$(2x)^3 - 1^3 = (2x-1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x-1)(4x^2 + 2x + 1)$

したがって、

$64x^6 - 1 = (8x^3 + 1)(8x^3 - 1) = (2x+1)(4x^2 - 2x + 1)(2x-1)(4x^2 + 2x + 1)$

となります。

3. 最終的な答え

$(2x-1)(2x+1)(4x^2-2x+1)(4x^2+2x+1)$