写真にある問題の中から、3番の問題を解きます。 $x \geq 3$, $y \geq \frac{1}{3}$, $xy = 27$のとき、$(\log_3 x)(\log_3 y)$の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

写真にある問題の中から、3番の問題を解きます。

$x \geq 3$, $y \geq \frac{1}{3}$, $xy = 27$のとき、$(\log_3 x)(\log_3 y)$の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

条件 $xy=27$ より、$y = \frac{27}{x}$。

$x \geq 3$, $y \geq \frac{1}{3}$ より、

$x \geq 3$ かつ $\frac{27}{x} \geq \frac{1}{3}$。

$\frac{27}{x} \geq \frac{1}{3}$ より、$x \leq 81$。

よって、$3 \leq x \leq 81$。

$(\log_3 x)(\log_3 y) = (\log_3 x)(\log_3 \frac{27}{x}) = (\log_3 x)(\log_3 27 - \log_3 x) = (\log_3 x)(3 - \log_3 x)$。

$t = \log_3 x$ とおくと、

$3 \leq x \leq 81$ より、

$\log_3 3 \leq \log_3 x \leq \log_3 81$。

$1 \leq t \leq 4$。

$(\log_3 x)(\log_3 y) = t(3-t) = -t^2 + 3t = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$。

$f(t) = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$ とおくと、

$1 \leq t \leq 4$ で、$f(t)$ は $t = \frac{3}{2}$ のとき最大値$\frac{9}{4}$をとり、$t=4$ のとき最小値 $f(4) = -16 + 12 = -4$ をとる。

$t = \log_3 x$ より、$t = \frac{3}{2}$ のとき、$x = 3^{\frac{3}{2}} = 3 \sqrt{3}$。

$t=4$ のとき、$x=81$。

$x=81$のとき、$y=\frac{27}{81} = \frac{1}{3}$。

したがって、$(\log_3 x)(\log_3 y)$ は、

$x = 3\sqrt{3}, y= \frac{27}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$のとき最大値 $\frac{9}{4}$をとり、

$x=81, y=\frac{1}{3}$のとき最小値 $-4$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{9}{4}$

最小値: $-4$