関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数を求めます。

$x$ と $y$ を入れ替えて、$x$ について解きます。

$x = \frac{ay+1}{y+2}$

両辺に $(y+2)$ を掛けると:

$x(y+2) = ay+1$

$xy + 2x = ay + 1$

$xy - ay = 1 - 2x$

$y(x - a) = 1 - 2x$

$y = \frac{1 - 2x}{x - a}$

これが逆関数です。

問題文より、逆関数が元の関数と一致するので、次の式が成り立ちます。

$\frac{ax+1}{x+2} = \frac{1-2x}{x-a}$

この式がすべての $x$ に対して成り立つためには、分子と分母がそれぞれ定数倍になっている必要があります。つまり、ある定数 $k$ が存在して、

$ax+1 = k(1-2x)$

$x+2 = k(x-a)$

この式を整理して $x$ についての恒等式として扱います。

$ax + 1 = k - 2kx$

$x + 2 = kx - ak$

係数を比較して、

$a = -2k$

$1 = k$

$1 = k$

$2 = -ak$

$k=1$ より、

$a = -2(1) = -2$

$2 = -a(1)$

したがって $a = -2$ となります。

逆関数が元の関数と一致するという条件から、与えられた関数は

$y = \frac{ax+1}{x+2}$ であり、求めた逆関数は $y = \frac{1-2x}{x-a}$ であるから、

$\frac{ax+1}{x+2} = \frac{1-2x}{x-a}$ が恒等的に成り立つ。

したがって、$\frac{ax+1}{x+2} = \frac{-2x+1}{x+2}$ となる。

ここで、分母を払うと

$(ax+1)(x-a) = (x+2)(1-2x)$

$ax^2 - a^2x + x - a = x - 2x^2 + 2 - 4x$

$ax^2 - a^2x + x - a = -2x^2 - 3x + 2$

係数比較を行うと、

$a = -2$

$-a^2 = -3$

$1 = -3$

$-a = 2$

上記より、$a = -2$

3. 最終的な答え

$a = -2$