関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(5) = 4$ かつ $f^{-1}(-5) = -1$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(5) = 4$ かつ $f^{-1}(-5) = -1$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$f^{-1}(5) = 4$ より、$f(4) = 5$ が成り立つ。

$f^{-1}(-5) = -1$ より、$f(-1) = -5$ が成り立つ。

$f(x) = ax + b$ に $f(4) = 5$ を代入すると、

$4a + b = 5$

$f(x) = ax + b$ に $f(-1) = -5$ を代入すると、

$-a + b = -5$

上記の2つの式から、$a$ と $b$ の連立方程式が得られる。

$4a + b = 5$ ...(1)

$-a + b = -5$ ...(2)

(1) - (2) より、

$5a = 10$

$a = 2$

$a = 2$ を (2) に代入すると、

$-2 + b = -5$

$b = -3$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$