0 <= x < 2πの範囲で、以下の(1)の方程式と(2)の不等式を解く問題です。 (1) $2\cos{2x} + 4\cos{x} - 1 = 0$ (2) $\cos{x} < \sqrt{3}\sin{x}$

1. 問題の内容

0 <= x < 2πの範囲で、以下の(1)の方程式と(2)の不等式を解く問題です。

(1) $2\cos{2x} + 4\cos{x} - 1 = 0$

(2) $\cos{x} < \sqrt{3}\sin{x}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、2倍角の公式 $\cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1$ を用いて、方程式を$\cos{x}$のみで表します。

$2(2\cos^2{x} - 1) + 4\cos{x} - 1 = 0$

$4\cos^2{x} + 4\cos{x} - 3 = 0$

ここで、$t = \cos{x}$ とおくと、$4t^2 + 4t - 3 = 0$ となります。

これを因数分解すると、$(2t - 1)(2t + 3) = 0$ となります。

したがって、$t = \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$ です。

$t = \cos{x}$ なので、$\cos{x} = \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$ です。

$-1 \le \cos{x} \le 1$ より、$\cos{x} = -\frac{3}{2}$ は解なしです。

$\cos{x} = \frac{1}{2}$ となる $x$ は、 $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。

(2)

$\cos{x} < \sqrt{3}\sin{x}$

両辺を$\cos{x}$ で割ることを考えますが、$\cos{x}$ の符号によって不等号の向きが変わるので注意が必要です。しかし、今回は別の解法を使います。

両辺を 2 で割ると、

$\frac{1}{2}\cos{x} < \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}$

$\cos{\frac{\pi}{3}}\cos{x} < \sin{\frac{\pi}{3}}\sin{x}$

$0 < \sin{x}\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos{x}\frac{1}{2}$

$\sin{x}\cos{\frac{\pi}{6}} - \cos{x}\sin{\frac{\pi}{6}}> 0$

$\sin(x-\frac{\pi}{6})>0$

$0 <= x < 2\pi$ より, $-\frac{\pi}{6} <= x-\frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$

$0 < x-\frac{\pi}{6} < \pi$

$\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$