問題は2つあります。 (1) 直線 $y = 3x + 1$ と平行な直線を、選択肢 (ア) $y = -3x + 2$、(イ) $y = 10 + 3x$、(ウ) $3x - y = 0$、(エ) $3y - x = 1$ の中からすべて選ぶ問題です。 (2) 点 $(4, -1)$ を通り、直線 $y = -2x - 3$ に平行な直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 直線 $y = 3x + 1$ と平行な直線を、選択肢 (ア) $y = -3x + 2$、(イ) $y = 10 + 3x$、(ウ) $3x - y = 0$、(エ) $3y - x = 1$ の中からすべて選ぶ問題です。

(2) 点 $(4, -1)$ を通り、直線 $y = -2x - 3$ に平行な直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

2つの直線が平行である条件は、傾きが等しいことです。

* 与えられた直線 $y = 3x + 1$ の傾きは $3$ です。

選択肢の直線を $y = mx + b$ の形に変形し、傾き $m$ を比較します。

* (ア) $y = -3x + 2$ の傾きは $-3$ です。

* (イ) $y = 10 + 3x$ つまり $y = 3x + 10$ の傾きは $3$ です。

* (ウ) $3x - y = 0$ より $y = 3x$ の傾きは $3$ です。

* (エ) $3y - x = 1$ より $3y = x + 1$ なので $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ の傾きは $\frac{1}{3}$ です。

したがって、$y = 3x + 1$ と平行な直線は (イ) と (ウ) です。

(2)

求める直線は $y = -2x - 3$ に平行なので、傾きは $-2$ です。

したがって、求める直線の方程式は $y = -2x + b$ の形になります。

点 $(4, -1)$ を通るので、$x = 4$, $y = -1$ を代入すると、

$-1 = -2(4) + b$

$-1 = -8 + b$

$b = -1 + 8 = 7$

したがって、求める直線の方程式は $y = -2x + 7$ です。

3. 最終的な答え

(1) (イ)と(ウ)

(2) $y = -2x + 7$