$\vec{a} = (x, -2)$、$\vec{b} = (1, -4)$ に対して、$\vec{a} + 4\vec{b}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行になるように、実数 $x$ の値を定める。

## 問題の回答

### (5) の問題

1. 問題の内容

$\vec{a} = (x, -2)$、$\vec{b} = (1, -4)$ に対して、$\vec{a} + 4\vec{b}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行になるように、実数 $x$ の値を定める。

2. 解き方の手順

$\vec{a} + 4\vec{b} = (x, -2) + 4(1, -4) = (x+4, -18)$

$\vec{b} - \vec{a} = (1, -4) - (x, -2) = (1-x, -2)$

$\vec{a} + 4\vec{b}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行であるとき、ある実数 $k$ が存在して、

$\vec{a} + 4\vec{b} = k(\vec{b} - \vec{a})$

$(x+4, -18) = k(1-x, -2)$

したがって、

$x+4 = k(1-x)$ ...(1)

$-18 = -2k$ ...(2)

(2)より、$k = 9$

これを(1)に代入すると、

$x+4 = 9(1-x)$

$x+4 = 9 - 9x$

$10x = 5$

$x = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}$

### (6) の問題

1. 問題の内容

$\vec{a} = (-2, 3)$、$\vec{b} = (1, -2)$ のとき、$\vec{c} = (1, -4)$ を $\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ より、

$(1, -4) = s(-2, 3) + t(1, -2) = (-2s + t, 3s - 2t)$

したがって、

$-2s + t = 1$ ...(1)

$3s - 2t = -4$ ...(2)

(1) x 2 + (2) より、

$-4s + 2t + 3s - 2t = 2 - 4$

$-s = -2$

$s = 2$

(1)に代入して、

$-2(2) + t = 1$

$-4 + t = 1$

$t = 5$

よって、

$\vec{c} = 2\vec{a} + 5\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{c} = 2\vec{a} + 5\vec{b}$

### (7) の問題

1. 問題の内容

4点 A(2, 0), B(-1, 5), C(-3, 2), D($x$,$y$) を頂点とする四角形 ABCD が平行四辺形であるとき、頂点Dの座標を求める。

2. 解き方の手順

平行四辺形 ABCD において、$\vec{AB} = \vec{DC}$ が成り立つ。

$\vec{AB} = (-1-2, 5-0) = (-3, 5)$

$\vec{DC} = (-3-x, 2-y)$

したがって、

$-3 = -3-x$

$5 = 2-y$

これより、

$x = 0$

$y = -3$

D(0, -3)

3. 最終的な答え

D(0, -3)