与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$ (2) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$

(2) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = a_n + 3^n$ より、階差数列の形であるため、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$

$a_1 = 1$ と等比数列の和の公式を用いて、

$a_n = 1 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = 1 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{3^n - 1}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3^1 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、$a_1 = 1$ を満たす。

よって、$n \geq 1$ で、$a_n = \frac{3^n - 1}{2}$

(2)

$a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ より、階差数列の形であるため、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)$

$a_1 = 0$ と $\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ を用いて、

$a_n = 0 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = n(n-1) + n - 1 = n^2 - n + n - 1 = n^2 - 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 = 0$ となり、$a_1 = 0$ を満たす。

よって、$n \geq 1$ で、$a_n = n^2 - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{3^n - 1}{2}$

(2) $a_n = n^2 - 1$