平面上の点 $P(p_1, p_2)$ を別の点 $Q(q_1, q_2)$ に写す1次変換 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ が与えられています。$q = f(p) = Ap$ であり、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と表される行列 $A$ を、以下の3つの場合それぞれについて求める問題です。 (1) 点 $P$ を $x$ 軸に関して対称な点 $Q$ に移す。 (2) 点 $P$ を原点に関して対称な点 $Q$ に移す。 (3) 点 $P$ を直線 $y = x$ に関して対称な点 $Q$ に移す。

1. 問題の内容

平面上の点 $P(p_1, p_2)$ を別の点 $Q(q_1, q_2)$ に写す1次変換 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ が与えられています。$q = f(p) = Ap$ であり、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と表される行列 $A$ を、以下の3つの場合それぞれについて求める問題です。

(1) 点 $P$ を $x$ 軸に関して対称な点 $Q$ に移す。

(2) 点 $P$ を原点に関して対称な点 $Q$ に移す。

(3) 点 $P$ を直線 $y = x$ に関して対称な点 $Q$ に移す。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ を $x$ 軸に関して対称な点 $Q$ に移す場合：

$x$ 軸に関して対称な点の座標は、$x$ 座標は変わらず、$y$ 座標の符号が変わります。つまり、$q_1 = p_1$ かつ $q_2 = -p_2$ です。

したがって、$A \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1 \\ -p_2 \end{pmatrix}$ となる行列 $A$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ とすれば、$A \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1 \\ -p_2 \end{pmatrix}$ となり条件を満たします。

(2) 点 $P$ を原点に関して対称な点 $Q$ に移す場合：

原点に関して対称な点の座標は、$x$ 座標と $y$ 座標の符号が両方変わります。つまり、$q_1 = -p_1$ かつ $q_2 = -p_2$ です。

したがって、$A \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -p_1 \\ -p_2 \end{pmatrix}$ となる行列 $A$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ とすれば、$A \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -p_1 \\ -p_2 \end{pmatrix}$ となり条件を満たします。

(3) 点 $P$ を直線 $y = x$ に関して対称な点 $Q$ に移す場合：

直線 $y = x$ に関して対称な点の座標は、$x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わります。つまり、$q_1 = p_2$ かつ $q_2 = p_1$ です。

したがって、$A \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_2 \\ p_1 \end{pmatrix}$ となる行列 $A$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ とすれば、$A \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_2 \\ p_1 \end{pmatrix}$ となり条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$