$5.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$5.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$5.4^n$ の整数部分が3桁であるということは、$100 \le 5.4^n < 1000$ が成り立つということです。

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}100 \le \log_{10}5.4^n < \log_{10}1000$

$2 \le n\log_{10}5.4 < 3$

$2 \le n\log_{10}(\frac{54}{10}) < 3$

$2 \le n(\log_{10}54 - \log_{10}10) < 3$

$2 \le n(\log_{10}(2 \times 3^3) - 1) < 3$

$2 \le n(\log_{10}2 + 3\log_{10}3 - 1) < 3$

ここで、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ を代入すると、

$2 \le n(0.3010 + 3 \times 0.4771 - 1) < 3$

$2 \le n(0.3010 + 1.4313 - 1) < 3$

$2 \le n(0.7323) < 3$

各辺を0.7323で割ると、

$\frac{2}{0.7323} \le n < \frac{3}{0.7323}$

$2.731 < n < 4.097$

したがって、$n$ は整数なので、$n = 3, 4$ となります。

よって、条件を満たす整数 $n$ の個数は2個です。

3. 最終的な答え

2個