数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 5$ および漸化式 $a_{n+1} = 8a_n^2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定義されているとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 5$ および漸化式 $a_{n+1} = 8a_n^2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定義されているとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式の両辺の対数をとります。底は何でも良いですが、ここでは常用対数（底が10）をとることにします。

$\log a_{n+1} = \log (8a_n^2)$

$\log a_{n+1} = \log 8 + \log a_n^2$

$\log a_{n+1} = \log 8 + 2 \log a_n$

ここで、$b_n = \log a_n$ とおくと、漸化式は次のようになります。

$b_{n+1} = 2b_n + \log 8$

これは、特性方程式を用いることで解くことができる線形漸化式です。特性方程式は $x = 2x + \log 8$ となり、$x = -\log 8$ となります。

したがって、$b_{n+1} + \log 8 = 2(b_n + \log 8)$ と変形できます。

$c_n = b_n + \log 8$ とおくと、$c_{n+1} = 2c_n$ となり、これは公比が2の等比数列です。

$c_1 = b_1 + \log 8 = \log a_1 + \log 8 = \log 5 + \log 8 = \log 40$

よって、$c_n = (\log 40) \cdot 2^{n-1}$

したがって、$b_n + \log 8 = (\log 40) \cdot 2^{n-1}$

$b_n = (\log 40) \cdot 2^{n-1} - \log 8$

$\log a_n = (\log 40) \cdot 2^{n-1} - \log 8$

$a_n = 10^{(\log 40) \cdot 2^{n-1} - \log 8}$

$a_n = 10^{(\log 40) \cdot 2^{n-1}} / 10^{\log 8}$

$a_n = (10^{\log 40})^{2^{n-1}} / 8$

$a_n = 40^{2^{n-1}} / 8 = (5 \cdot 8)^{2^{n-1}} / 8$

$a_n = 5^{2^{n-1}} \cdot 8^{2^{n-1}} / 8$

$a_n = 5^{2^{n-1}} \cdot 8^{2^{n-1}-1} = 5^{2^{n-1}} \cdot (2^3)^{2^{n-1}-1} = 5^{2^{n-1}} \cdot 2^{3(2^{n-1}-1)} = 5^{2^{n-1}} \cdot 2^{3\cdot 2^{n-1} - 3} = 5^{2^{n-1}} \cdot 2^{3 \cdot 2^{n-1}}/8$

$a_n = 5^{2^{n-1}} \cdot (2^3)^{2^{n-1}}/8 = 5^{2^{n-1}} \cdot 8^{2^{n-1}}/8 = (5\cdot 8)^{2^{n-1}} / 8 = 40^{2^{n-1}}/8$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{40^{2^{n-1}}}{8}$