数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 4$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 4$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ を、等比数列の形に変形する。特性方程式 $x = 3x + 2$ を解くと、$x = -1$ である。したがって、$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$ と変形できる。

この式は、数列 $\{a_n + 1\}$ が初項 $a_1 + 1 = 4 + 1 = 5$、公比 $3$ の等比数列であることを示している。

したがって、$a_n + 1 = 5 \cdot 3^{n-1}$ となる。

$a_n = 5 \cdot 3^{n-1} - 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 5 \cdot 3^{n-1} - 1$