与えられた問題は、次の和を求めることです。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の和を求めることです。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k}$

2. 解き方の手順

これは等比数列の和の形をしています。一般に、初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の最初の $n$ 項の和は次の式で与えられます。

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

今回の問題では、$k=1$ から $n$ までの和なので、初項 $a$ は $\frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$、公比 $r$ は $\frac{1}{3}$ となります。

したがって、求める和は次のようになります。

$S_n = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}}$

$S_n = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}}$

$S_n = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3^n})$

$S_n = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^n})$

$S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$