不等式 $9^n < 100000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $9^n < 100000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10} (9^n) < \log_{10} (100000)$

対数の性質より、

$n \log_{10} 9 < \log_{10} (10^5)$

$n \log_{10} (3^2) < 5$

$2n \log_{10} 3 < 5$

与えられた$\log_{10} 3 = 0.4771$を代入すると、

$2n(0.4771) < 5$

$0.9542n < 5$

$n < \frac{5}{0.9542}$

$n < 5.239$

したがって、不等式を満たす最大の整数 $n$ は5です。

3. 最終的な答え

5