不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10} ((\frac{1}{2})^n) < \log_{10} (0.01)$

対数の性質を用いて、式を整理します。

$n \log_{10} (\frac{1}{2}) < \log_{10} (10^{-2})$

$n \log_{10} (2^{-1}) < -2$

$-n \log_{10} 2 < -2$

ここで、$\log_{10} 2 = 0.3010$ であることを用います。

$-n (0.3010) < -2$

両辺を $-0.3010$ で割ります。不等号の向きが変わることに注意してください。

$n > \frac{-2}{-0.3010}$

$n > \frac{2}{0.3010}$

$n > \frac{2000}{301}$

$\frac{2000}{301} \approx 6.6445$

$n$ は整数なので、不等式を満たす最小の整数 $n$ は $7$ です。

3. 最終的な答え

7