$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ を線形変換、$A \in M_3$ を $f$ の表現行列とする。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} -11 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 27 \\ -15 \\ -2 \end{pmatrix}, \mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} -14 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3$ の $f$ による像 $f(\mathbf{a}_1), f(\mathbf{a}_2), f(\mathbf{a}_3)$ によって張られる平行六面体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ を線形変換、$A \in M_3$ を $f$ の表現行列とする。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} -11 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 27 \\ -15 \\ -2 \end{pmatrix}, \mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} -14 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3$

の $f$ による像 $f(\mathbf{a}_1), f(\mathbf{a}_2), f(\mathbf{a}_3)$ によって張られる平行六面体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

平行六面体の体積 $V$ は、 $V = | \det( f(\mathbf{a}_1), f(\mathbf{a}_2), f(\mathbf{a}_3) ) |$ で与えられます。ここで $f(\mathbf{a}_i) = A \mathbf{a}_i$ であるから、

$V = |\det(A\mathbf{a}_1, A\mathbf{a}_2, A\mathbf{a}_3)| = |\det(A (\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3))| = |\det(A) \det(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3)|$

と書けます。

まず、$\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \end{pmatrix} = 1(3 \cdot 3 - 4 \cdot 5) - 1(2 \cdot 3 - 4 \cdot 3) + 6(2 \cdot 5 - 3 \cdot 3) = 1(9-20) - 1(6-12) + 6(10-9) = -11 - (-6) + 6 = -11 + 6 + 6 = 1$

よって $\det(A) = 1$ です。

次に、$\det(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3)$ を計算します。

$\det(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3) = \det \begin{pmatrix} -11 & 27 & -14 \\ 6 & -15 & 8 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} = -11(-15 \cdot 1 - 8 \cdot (-2)) - 27(6 \cdot 1 - 8 \cdot 1) + (-14)(6 \cdot (-2) - (-15) \cdot 1) = -11(-15+16) - 27(6-8) - 14(-12+15) = -11(1) - 27(-2) - 14(3) = -11 + 54 - 42 = 1$

よって $\det(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3) = 1$ です。

したがって、$V = |\det(A) \det(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3)| = |1 \cdot 1| = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$V=1$