2次方程式 $3x^2 - 2mx - m^2 = 0$ が $x=1$ を解に持つとき、定数 $m$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 2mx - m^2 = 0$ が $x=1$ を解に持つとき、定数 $m$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

$x=1$ が解であるから、与えられた2次方程式に $x=1$ を代入する。

$3(1)^2 - 2m(1) - m^2 = 0$

$3 - 2m - m^2 = 0$

$m^2 + 2m - 3 = 0$

この $m$ に関する2次方程式を解く。

$(m+3)(m-1) = 0$

$m = -3, 1$

それぞれの場合について、2次方程式の他の解を求める。

(i) $m = -3$ のとき

$3x^2 - 2(-3)x - (-3)^2 = 0$

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x+3)(x-1) = 0$

$x = -3, 1$

したがって、他の解は $x = -3$

(ii) $m = 1$ のとき

$3x^2 - 2(1)x - (1)^2 = 0$

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

$(3x+1)(x-1) = 0$

$x = -\frac{1}{3}, 1$

したがって、他の解は $x = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$m=-3$ のとき、他の解は $x=-3$

$m=1$ のとき、他の解は $x=-\frac{1}{3}$