定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 4x + 3$ の $a \le x \le a+1$ における最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 4x + 3$ の $a \le x \le a+1$ における最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1$

よって、この関数の頂点は $(2, -1)$ です。軸は $x = 2$ です。

次に、定義域 $a \le x \le a+1$ と軸 $x=2$ の位置関係によって場合分けします。

(i) $a+1 < 2$ すなわち $a < 1$ のとき、定義域は軸よりも左側にあります。この場合、定義域内で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x = a+1$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a+1)^2 - 4(a+1) + 3 = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 3 = a^2 - 2a = a(a-2)$

(ii) $a \le 2 \le a+1$ すなわち $1 \le a \le 2$ のとき、定義域に軸が含まれます。この場合、頂点で最小値をとります。

最小値は $y = -1$

(iii) $a > 2$ のとき、定義域は軸よりも右側にあります。この場合、定義域内で $x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = a^2 - 4a + 3 = (a-2)^2 - 1$

3. 最終的な答え

最小値は

$a < 1$ のとき: $a^2 - 2a$

$1 \le a \le 2$ のとき: $-1$

$a > 2$ のとき: $a^2 - 4a + 3$