$\log_{\frac{1}{3}}(1-2x) \geq 0$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{3}}(1-2x) \geq 0$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、真数条件より $1-2x > 0$ である必要がある。

これを解くと、

$1 > 2x$

$x < \frac{1}{2}$

次に、対数の不等式 $\log_{\frac{1}{3}}(1-2x) \geq 0$ を考える。

底が $\frac{1}{3}$ であり、0 < $\frac{1}{3}$ < 1 なので、対数の大小関係と真数の大小関係が逆転する。

$\log_{\frac{1}{3}}(1-2x) \geq 0$ は $\log_{\frac{1}{3}}(1-2x) \geq \log_{\frac{1}{3}}1$ と書き換えられるので、

$1-2x \leq 1$

$-2x \leq 0$

$x \geq 0$

したがって、$x < \frac{1}{2}$ かつ $x \geq 0$ より、$0 \leq x < \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$0 \leq x < \frac{1}{2}$