複素数の割り算 $ \frac{1+3i}{3+i} $ を計算し、結果を$a+bi$の形で表す問題です。

1. 問題の内容

複素数の割り算 $\frac{1+3i}{3+i}$ を計算し、結果を$a+bi$の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

複素数の割り算では、分母の共役複素数を分母と分子の両方にかけます。

分母 $3+i$ の共役複素数は $3-i$ です。

したがって、分子と分母に $3-i$ をかけます。

$\frac{1+3i}{3+i} = \frac{(1+3i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}$

分子を展開します。

$(1+3i)(3-i) = 1(3) + 1(-i) + 3i(3) + 3i(-i) = 3 - i + 9i - 3i^2$

ここで、$i^2 = -1$ であるから、

$3 - i + 9i - 3i^2 = 3 - i + 9i - 3(-1) = 3 - i + 9i + 3 = 6 + 8i$

分母を展開します。

$(3+i)(3-i) = 3(3) + 3(-i) + i(3) + i(-i) = 9 - 3i + 3i - i^2$

ここで、$i^2 = -1$ であるから、

$9 - 3i + 3i - i^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$

したがって、

$\frac{(1+3i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6+8i}{10}$

これを$a+bi$の形にします。

$\frac{6+8i}{10} = \frac{6}{10} + \frac{8}{10}i = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$