与えられた数式の値を計算する問題です。数式は次の通りです。 $5\sum_{k=1}^{n-1} (8k + 3)$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は次の通りです。

$5\sum_{k=1}^{n-1} (8k + 3)$

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{n-1} (8k + 3)$ の部分を計算します。

シグマの性質から、

$\sum_{k=1}^{n-1} (8k + 3) = 8 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 3$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ であり、$\sum_{k=1}^{n-1} 3 = 3(n-1)$ なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} (8k + 3) = 8 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1) = 4(n-1)n + 3(n-1) = (4n+3)(n-1) = 4n^2 - 4n + 3n - 3 = 4n^2 - n - 3$

したがって、

$5\sum_{k=1}^{n-1} (8k + 3) = 5(4n^2 - n - 3) = 20n^2 - 5n - 15$

3. 最終的な答え

$20n^2 - 5n - 15$