与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この数列は等比数列の和です。

初項 $a$、公比 $r$、項数 $n$ の等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ について、初項$a$、公比$r$、項数$n$を求めます。

$k=1$ のとき、初項 $a = 2 \cdot 5^{1-1} = 2 \cdot 5^0 = 2 \cdot 1 = 2$ です。

公比は $r = 5$ です。

項数は $n$ です。

したがって、等比数列の和の公式に代入すると、

$S_n = \frac{2(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{2(5^n - 1)}{4} = \frac{5^n - 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5^n - 1}{2}$