第7項が17, 第15項が73である等差数列 $\{a_n\}$ について、次の問いに答えよ。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 115は第何項か。 (3) 初めて300を超えるのは第何項か。

1. 問題の内容

第7項が17, 第15項が73である等差数列 $\{a_n\}$ について、次の問いに答えよ。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 115は第何項か。

(3) 初めて300を超えるのは第何項か。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を求める。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。

第7項が17なので、$a_7 = a_1 + 6d = 17$

第15項が73なので、$a_{15} = a_1 + 14d = 73$

この2つの式から $a_1$ と $d$ を求める。

$a_1 + 14d = 73$ から $a_1 + 6d = 17$ を引くと、

$8d = 56$ となり、$d = 7$

$a_1 + 6(7) = 17$ より $a_1 + 42 = 17$ なので、$a_1 = -25$

したがって、一般項は $a_n = -25 + (n-1)7 = -25 + 7n - 7 = 7n - 32$

(2) 115が第何項かを求める。

$a_n = 115$ となる $n$ を求める。

$7n - 32 = 115$

$7n = 147$

$n = 21$

したがって、115は第21項である。

(3) 初めて300を超えるのが第何項かを求める。

$a_n > 300$ となる最小の $n$ を求める。

$7n - 32 > 300$

$7n > 332$

$n > \frac{332}{7} \approx 47.4$

したがって、初めて300を超えるのは第48項である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 7n - 32$

(2) 第21項

(3) 第48項