与えられた数列 $2, 3, 5, 8, 12, \dots$ の一般項 $a_n$ を、階差数列を利用して求める問題です。

代数学数列階差数列一般項等差数列
2025/7/3

1. 問題の内容

与えられた数列 2,3,5,8,12,2, 3, 5, 8, 12, \dots の一般項 ana_n を、階差数列を利用して求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。
階差数列は、隣り合う項の差を取ることで得られます。
bn=an+1anb_n = a_{n+1} - a_nとすると、
b1=32=1b_1 = 3 - 2 = 1
b2=53=2b_2 = 5 - 3 = 2
b3=85=3b_3 = 8 - 5 = 3
b4=128=4b_4 = 12 - 8 = 4
よって、階差数列は 1,2,3,4,1, 2, 3, 4, \dots となります。これは、初項1、公差1の等差数列なので、一般項は bn=nb_n = n と表せます。
数列 ana_n の一般項は、階差数列を用いて次のように表されます。
an=a1+k=1n1bk(n2)a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \geq 2)
a1=2a_1 = 2 であり、bk=kb_k = k なので、
an=2+k=1n1k=2+(n1)n2a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 + \frac{(n-1)n}{2}
an=2+n2n2=4+n2n2=n2n+42a_n = 2 + \frac{n^2 - n}{2} = \frac{4 + n^2 - n}{2} = \frac{n^2 - n + 4}{2}
これは n2n \geq 2 のとき成り立ちます。
n=1n = 1 のとき、a1=121+42=42=2a_1 = \frac{1^2 - 1 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 となり、a1=2a_1 = 2 と一致するので、この式は n=1n = 1 のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

an=n2n+42a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}

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