初項から第$n$項までの和 $S_n$ が $S_n = 4n^2 - 3n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。また、和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

初項から第$n$項までの和 $S_n$ が $S_n = 4n^2 - 3n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。また、和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$である。

$S_n = 4n^2 - 3n$ より、$S_{n-1} = 4(n-1)^2 - 3(n-1)$ である。

したがって、$a_n = (4n^2 - 3n) - \{4(n-1)^2 - 3(n-1)\} = (4n^2 - 3n) - \{4(n^2 - 2n + 1) - 3n + 3\} = 4n^2 - 3n - (4n^2 - 8n + 4 - 3n + 3) = 4n^2 - 3n - 4n^2 + 8n - 4 + 3n - 3 = 8n - 7$ となる。

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 4(1)^2 - 3(1) = 4 - 3 = 1$ である。

ここで、求めた $a_n$ の式に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 8(1) - 7 = 1$ となり、一致する。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、$a_n = 8n - 7$ である。

次に、和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ を求める。

$S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 2^{k-1} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^n$

$S - 2S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - (2n-1) \cdot 2^n = 1 + 2 \cdot \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} - (2n-1) \cdot 2^n = 1 + 4(2^{n-1}-1) - (2n-1) \cdot 2^n = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n = 2^{n+1} - 3 - (2n-1) \cdot 2^n = 2^{n+1} - 3 - 2n \cdot 2^n + 2^n = 2^{n+1} + 2^n - 3 - 2n \cdot 2^n = 2^n(2 + 1 - 2n) - 3 = (3-2n) \cdot 2^n - 3$

$S = (2n-3) \cdot 2^n + 3$

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 8n - 7$ である。

和 $S = (2n-3)2^n + 3$ である。