与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列は、 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列は、

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

で表されます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた和 $S$ を書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

次に、両辺を $2$ で割った式 $2S$ を書きます。

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \cdots + (2n-1) \cdot 2^n$

ここで、$S - 2S$ を計算します。すなわち、$S$ から $2S$ を引きます。

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \cdots + (2n-1) \cdot 2^n)$

$-S = 1 + (3-1) \cdot 2 + (5-3) \cdot 2^2 + \cdots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \cdots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

括弧の中は等比数列の和なので、公式を使って計算します。

$2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 2^{n+1} - 3 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 2^{n+1} - (2n-1) \cdot 2^n - 3$

$-S = 2 \cdot 2^n - (2n-1) \cdot 2^n - 3$

$-S = (2 - (2n - 1)) \cdot 2^n - 3$

$-S = (3 - 2n) \cdot 2^n - 3$

$S = (2n - 3) \cdot 2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S = (2n - 3)2^n + 3$