2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ がある。ただし、$a$ は正の定数とする。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。 (2) $0 \leqq x \leqq 3$ における $f(x)$ の最小値が $8$ であるとき、$a$ の値を求めよ。また、このとき、$0 \leqq x \leqq 3$ における $f(x)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ がある。ただし、$a$ は正の定数とする。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。

(2) $0 \leqq x \leqq 3$ における $f(x)$ の最小値が $8$ であるとき、$a$ の値を求めよ。また、このとき、$0 \leqq x \leqq 3$ における $f(x)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平方完成を行い、頂点の座標を求める。

\begin{align*}

f(x) &= x^2 - 4x + a^2 - a \\

&= (x - 2)^2 - 4 + a^2 - a \\

&= (x - 2)^2 + a^2 - a - 4

\end{align*}

したがって、頂点の座標は $(2, a^2 - a - 4)$ となる。

(2) $0 \leqq x \leqq 3$ における $f(x)$ の最小値が $8$ であるとき、$a$ の値を求める。

頂点の $x$ 座標は $2$ なので、区間 $0 \leqq x \leqq 3$ に含まれる。したがって、最小値は頂点の $y$ 座標となる。

$$a^2 - a - 4 = 8$$

$$a^2 - a - 12 = 0$$

$$(a - 4)(a + 3) = 0$$

$a > 0$ より、$a = 4$ となる。

次に、$a = 4$ のとき、$0 \leqq x \leqq 3$ における $f(x)$ の最大値を求める。

$$f(x) = x^2 - 4x + 4^2 - 4 = x^2 - 4x + 12$$

区間の端の値を計算する。

$f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 12 = 12$

$f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 12 = 9 - 12 + 12 = 9$

よって、最大値は $12$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, a^2 - a - 4)$

(2) $a = 4$, 最大値: $12$