放物線 $y = -2x^2 + 4x - 4$ を、$x$軸方向に$-3$、$y$軸方向に$1$だけ平行移動したときに得られる放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 4x - 4$ を、$x$軸方向に$-3$、$y$軸方向に$1$だけ平行移動したときに得られる放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、元の放物線の方程式を平方完成する。

$y = -2x^2 + 4x - 4$

$y = -2(x^2 - 2x) - 4$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 4$

$y = -2((x - 1)^2 - 1) - 4$

$y = -2(x - 1)^2 + 2 - 4$

$y = -2(x - 1)^2 - 2$

$x$軸方向に$-3$、$y$軸方向に$1$だけ平行移動するということは、$x$を$x + 3$に、$y$を$y - 1$に置き換える。

$y - 1 = -2((x + 3) - 1)^2 - 2$

$y - 1 = -2(x + 2)^2 - 2$

$y = -2(x + 2)^2 - 2 + 1$

$y = -2(x + 2)^2 - 1$

$y = -2(x^2 + 4x + 4) - 1$

$y = -2x^2 - 8x - 8 - 1$

$y = -2x^2 - 8x - 9$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 - 8x - 9$