ある放物線を、$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したところ、放物線 $y=x^2-2x+2$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

代数学放物線平行移動対称移動二次関数
2025/7/3

1. 問題の内容

ある放物線を、xx軸方向に1-1yy軸方向に3-3だけ平行移動し、さらにxx軸に関して対称移動したところ、放物線 y=x22x+2y=x^2-2x+2 に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、xx軸に関して対称移動した放物線の方程式を求める。xx軸に関して対称移動するということは、yyy-yに置き換えることなので、
y=x22x+2-y = x^2 - 2x + 2
y=x2+2x2y = -x^2 + 2x - 2
次に、平行移動を逆に行う。xx軸方向に1-1だけ平行移動する前の状態にするには、xxx+1x+1に置き換える。
y=(x+1)2+2(x+1)2y = -(x+1)^2 + 2(x+1) - 2
y=(x2+2x+1)+2x+22y = -(x^2 + 2x + 1) + 2x + 2 - 2
y=x22x1+2xy = -x^2 - 2x - 1 + 2x
y=x21y = -x^2 - 1
最後に、yy軸方向に3-3だけ平行移動する前の状態にするには、yyy+3y+3に置き換える。
y+3=x21y + 3 = -x^2 - 1
y=x213y = -x^2 - 1 - 3
y=x24y = -x^2 - 4

3. 最終的な答え

y=x24y = -x^2 - 4

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