複素数平面上で、$\alpha = 3-2i$, $\beta = b+6i$, $\gamma = 5+ci$ とする。4点 0, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が一直線上にあるとき、実数 $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上で、$\alpha = 3-2i$, $\beta = b+6i$, $\gamma = 5+ci$ とする。4点 0, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が一直線上にあるとき、実数 $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

4点 0, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が一直線上にあるので、$\beta = k\alpha$ と $\gamma = l\alpha$ を満たす実数 $k$, $l$ が存在します。

まず、$\beta = k\alpha$ より、

$b+6i = k(3-2i) = 3k - 2ki$

実部と虚部を比較すると、

$b = 3k$

$6 = -2k$

よって、$k = -3$。

$b = 3k = 3(-3) = -9$

次に、$\gamma = l\alpha$ より、

$5+ci = l(3-2i) = 3l - 2li$

実部と虚部を比較すると、

$5 = 3l$

$c = -2l$

よって、$l = \frac{5}{3}$。

$c = -2l = -2(\frac{5}{3}) = -\frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$b = -9$

$c = -\frac{10}{3}$