次の式の分母を有理化せよ： $\frac{\sqrt{2}}{3 - \sqrt{6} - \sqrt{15}}$

1. 問題の内容

次の式の分母を有理化せよ：

$\frac{\sqrt{2}}{3 - \sqrt{6} - \sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

まず、分母の$3 - \sqrt{6} - \sqrt{15}$において、$3 - \sqrt{6}$を一つの項として考えます。

すると、$3 - \sqrt{6} + \sqrt{15}$を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{3 - \sqrt{6} - \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{2}(3 - \sqrt{6} + \sqrt{15})}{(3 - \sqrt{6} - \sqrt{15})(3 - \sqrt{6} + \sqrt{15})}$

分母を計算します。

$(3 - \sqrt{6} - \sqrt{15})(3 - \sqrt{6} + \sqrt{15}) = (3 - \sqrt{6})^2 - (\sqrt{15})^2 = 9 - 6\sqrt{6} + 6 - 15 = 15 - 15 - 6\sqrt{6} = -6\sqrt{6}$

すると、式は次のようになります。

$\frac{\sqrt{2}(3 - \sqrt{6} + \sqrt{15})}{-6\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{12} + \sqrt{30}}{-6\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30}}{-6\sqrt{6}}$

さらに分母を有理化するため、分子と分母に$\sqrt{6}$を掛けます。

$\frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30})\sqrt{6}}{-6\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{12} - 2\sqrt{18} + \sqrt{180}}{-6 \times 6} = \frac{3 \times 2\sqrt{3} - 2 \times 3\sqrt{2} + \sqrt{36 \times 5}}{-36} = \frac{6\sqrt{3} - 6\sqrt{2} + 6\sqrt{5}}{-36} = \frac{6(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5})}{-36} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5}}{-6} = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{5}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{6}$