ある放物線を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したら、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したら、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

最終的に得られた放物線の方程式 $y = x^2 - 2x + 2$ から、逆の操作を順番に行うことで、元の放物線の方程式を求める。

ステップ1: $x$ 軸に関して対称移動する前の放物線を求める。$x$ 軸に関して対称移動するという操作の逆は、再び $x$ 軸に関して対称移動することである。よって、$y = x^2 - 2x + 2$ を $x$ 軸に関して対称移動すると、$-y = x^2 - 2x + 2$ となり、これは $y = -x^2 + 2x - 2$ となる。

ステップ2: $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動する前の放物線を求める。$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動するという操作の逆は、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動することである。よって、$y = -x^2 + 2x - 2$ を $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると、$y - 3 = -x^2 + 2x - 2$ となり、これは $y = -x^2 + 2x + 1$ となる。

ステップ3: $x$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動する前の放物線を求める。$x$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動するという操作の逆は、$x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動することである。よって、$y = -x^2 + 2x + 1$ を $x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動すると、$y = -(x - 1)^2 + 2(x - 1) + 1$ となる。これを展開して整理すると、

\begin{align*}

y &= -(x^2 - 2x + 1) + 2x - 2 + 1 \\

&= -x^2 + 2x - 1 + 2x - 1 \\

&= -x^2 + 4x - 2

\end{align*}

となる。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 2$