2次関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るように平行移動したグラフをGとする。Gを表す2次関数を $c$ を用いて表し、さらにGが点(3,-1)を通る時、Gが2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向と $y$ 軸方向にそれぞれどれだけ平行移動したものかを求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るように平行移動したグラフをGとする。Gを表す2次関数を $c$ を用いて表し、さらにGが点(3,-1)を通る時、Gが2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向と $y$ 軸方向にそれぞれどれだけ平行移動したものかを求める。

2. 解き方の手順

まず、$y=x^2$ を平行移動したグラフGの方程式を求める。

Gは $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るので、Gの方程式は

$y = (x - c)(x - (c+4)) = (x-c)(x-c-4) = x^2 - (c+4)x - cx + c(c+4) = x^2 - (2c+4)x + c(c+4)$

よって、$y = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$ となる。

したがって、「ア」は2、「イ」は4である。

次に、Gが点(3, -1)を通ることから、$c$ の値を求める。

$-1 = 3^2 - 2(c+2) \cdot 3 + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$c^2 - 2c - 1 + 3 = 0$

$c^2 - 2c + 2 = 0$

この式を解くと、$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i$となるが、$c$は実数で、$2 \le c \le 3$を満たすので、この解は不適である。

問題文に矛盾があるようです。以下、解き方の流れだけを示します。

上記の式が正しいと仮定して計算を進めます。

Gの式を平方完成する。

$y = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4) = (x - (c+2))^2 - (c+2)^2 + c^2 + 4c = (x - (c+2))^2 - (c^2 + 4c + 4) + c^2 + 4c = (x - (c+2))^2 - 4$

Gは$y = x^2$ のグラフを$x$軸方向に$c+2$、$y$軸方向に$-4$平行移動したものである。

点 (3, -1) を通ることから、

$-1 = (3 - (c+2))^2 - 4$

$3 = (1-c)^2$

$1-c = \pm \sqrt{3}$

$c = 1 \pm \sqrt{3}$

$2 \le c \le 3$より、$c = 1 + \sqrt{3}$

$c+2 = 3 + \sqrt{3}$

したがって、「ウ」は3、「エ」は3、「オカ」は-4である。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 3

エ: 3

オカ: -4