2次関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るように平行移動したグラフを $G$ とする。グラフ $G$ をもつ2次関数を $c$ を用いて表し、さらに、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るときの、2次関数 $y=x^2$ のグラフから $G$ への平行移動量を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るように平行移動したグラフを $G$ とする。グラフ $G$ をもつ2次関数を $c$ を用いて表し、さらに、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るときの、2次関数 $y=x^2$ のグラフから $G$ への平行移動量を求める。

2. 解き方の手順

* 2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通ることから、グラフ $G$ を持つ2次関数は、$y = (x - c)(x - (c+4))$ と表せる。

展開すると、

$y = x^2 - (c + c + 4)x + c(c+4)$

$y = x^2 - (2c + 4)x + c(c+4)$

よって、ア=4, イ=4。

* $G$ が点 $(3, -1)$ を通るので、$y = x^2 - (2c + 4)x + c(c+4)$ に $x=3$, $y=-1$ を代入する。

$-1 = 3^2 - (2c + 4)(3) + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$0 = c^2 - 2c - 10 + 1$

$0 = c^2 - 2c - 2$

$c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

条件 $2 \le c \le 3$ より、$c = 1 + \sqrt{3}$。

* このとき、$G$ の方程式は

$y = x^2 - (2(1 + \sqrt{3}) + 4)x + (1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3} + 4)$

$y = x^2 - (2 + 2\sqrt{3} + 4)x + (1 + \sqrt{3})(5 + \sqrt{3})$

$y = x^2 - (6 + 2\sqrt{3})x + (5 + \sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 3)$

$y = x^2 - (6 + 2\sqrt{3})x + (8 + 6\sqrt{3})$

* $G$ の方程式を平方完成すると

$y = (x - (3 + \sqrt{3}))^2 - (3 + \sqrt{3})^2 + 8 + 6\sqrt{3}$

$y = (x - (3 + \sqrt{3}))^2 - (9 + 6\sqrt{3} + 3) + 8 + 6\sqrt{3}$

$y = (x - (3 + \sqrt{3}))^2 - 12 - 6\sqrt{3} + 8 + 6\sqrt{3}$

$y = (x - (3 + \sqrt{3}))^2 - 4$

* したがって、$G$ は $y = x^2$ を $x$ 軸方向に $3 + \sqrt{3}$、$y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したものである。

よって、ウ=3, エ=3, オカ=-4。

3. 最終的な答え

ア = 4

イ = 4

ウ = 3

エ = 3

オカ = -4