ある放物線を、$x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したら、放物線 $y=x^2-2x+2$ になった。もとの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したら、放物線 $y=x^2-2x+2$ になった。もとの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

最終的な放物線 $y=x^2 - 2x + 2$ から逆算して、元の放物線を求める。

ステップ1: $x$ 軸に関して対称移動する前の放物線を求める。$x$ 軸に関して対称移動するということは、$y$ を $-y$ に置き換えることである。よって、

$-y = x^2 - 2x + 2$

$y = -x^2 + 2x - 2$

ステップ2: $x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動する前の放物線を求める。$x$ 軸方向に $-1$ 移動するということは、$x$ を $x+1$ に置き換えること、$y$ 軸方向に $-3$ 移動するということは、$y$ を $y+3$ に置き換えることである。よって、

$y + 3 = -(x+1)^2 + 2(x+1) - 2$

$y = -(x^2 + 2x + 1) + 2x + 2 - 2 - 3$

$y = -x^2 - 2x - 1 + 2x - 3$

$y = -x^2 - 4$

したがって、元の放物線の方程式は $y = -x^2 - 4$ である。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 - 4$