数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 4n$ で与えられているとき、数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

代数学数列一般項漸化式
2025/7/3

1. 問題の内容

数列 {an}\{a_n\} の初項から第 nn 項までの和 SnS_nSn=n24nS_n = n^2 - 4n で与えられているとき、数列の一般項 ana_n を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の和 SnS_n から一般項 ana_n を求めるには、次の関係式を利用します。
a1=S1a_1 = S_1
an=SnSn1a_n = S_n - S_{n-1} ( n2n \geq 2 のとき )
まず、a1a_1 を求めます。
a1=S1=124(1)=14=3a_1 = S_1 = 1^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3
次に、n2n \geq 2 のとき、ana_n を求めます。
an=SnSn1=(n24n)((n1)24(n1))a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 4n) - ((n-1)^2 - 4(n-1))
=n24n(n22n+14n+4)= n^2 - 4n - (n^2 - 2n + 1 - 4n + 4)
=n24n(n26n+5)= n^2 - 4n - (n^2 - 6n + 5)
=n24nn2+6n5= n^2 - 4n - n^2 + 6n - 5
=2n5= 2n - 5
この式が n=1n=1 のときにも成り立つか確認します。
2(1)5=25=32(1) - 5 = 2 - 5 = -3
これは a1a_1 と一致します。
したがって、ana_n の一般項は an=2n5a_n = 2n - 5 で表されます。

3. 最終的な答え

an=2n5a_n = 2n - 5

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