問題は2つあります。 * 1つ目の問題（テーマ19）：$1 < x < 4$, $-3 < y < 2$ のとき、次の式のとりうる値の範囲を求めます。 (1) $2x-1$ (2) $3x+y$ (3) $5x-2y$ * 2つ目の問題（練習55）：$1 < x < 5$, $-2 < y < 4$ のとき、次の式のとりうる値の範囲を求めます。 (1) $3x+2$ (2) $4x+y$ (3) $2x-3y$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 1つ目の問題（テーマ19）：$1 < x < 4$, $-3 < y < 2$ のとき、次の式のとりうる値の範囲を求めます。

(1) $2x-1$

(2) $3x+y$

(3) $5x-2y$

* 2つ目の問題（練習55）：$1 < x < 5$, $-2 < y < 4$ のとき、次の式のとりうる値の範囲を求めます。

(1) $3x+2$

(2) $4x+y$

(3) $2x-3y$

2. 解き方の手順

*テーマ19*

(1) $2x-1$ の範囲を求める。

まず、$x$ の範囲 $1 < x < 4$ を2倍する。

$2 < 2x < 8$

次に、各辺から1を引く。

$2-1 < 2x-1 < 8-1$

$1 < 2x-1 < 7$

(2) $3x+y$ の範囲を求める。

まず、$x$ の範囲 $1 < x < 4$ を3倍する。

$3 < 3x < 12$

次に、$y$ の範囲 $-3 < y < 2$ を足し合わせる。

$3+(-3) < 3x+y < 12+2$

$0 < 3x+y < 14$

(3) $5x-2y$ の範囲を求める。

まず、$x$ の範囲 $1 < x < 4$ を5倍する。

$5 < 5x < 20$

次に、$y$ の範囲 $-3 < y < 2$ を-2倍する。不等号の向きが変わることに注意する。

$6 > -2y > -4$ よって、$-4 < -2y < 6$

足し合わせると

$5+(-4) < 5x-2y < 20+6$

$1 < 5x-2y < 26$

*練習55*

(1) $3x+2$ の範囲を求める。

まず、$x$ の範囲 $1 < x < 5$ を3倍する。

$3 < 3x < 15$

次に、各辺に2を足す。

$3+2 < 3x+2 < 15+2$

$5 < 3x+2 < 17$

(2) $4x+y$ の範囲を求める。

まず、$x$ の範囲 $1 < x < 5$ を4倍する。

$4 < 4x < 20$

次に、$y$ の範囲 $-2 < y < 4$ を足し合わせる。

$4+(-2) < 4x+y < 20+4$

$2 < 4x+y < 24$

(3) $2x-3y$ の範囲を求める。

まず、$x$ の範囲 $1 < x < 5$ を2倍する。

$2 < 2x < 10$

次に、$y$ の範囲 $-2 < y < 4$ を-3倍する。不等号の向きが変わることに注意する。

$6 > -3y > -12$ よって、$-12 < -3y < 6$

足し合わせると

$2+(-12) < 2x-3y < 10+6$

$-10 < 2x-3y < 16$

3. 最終的な答え

*テーマ19*

(1) $1 < 2x-1 < 7$

(2) $0 < 3x+y < 14$

(3) $1 < 5x-2y < 26$

*練習55*

(1) $5 < 3x+2 < 17$

(2) $2 < 4x+y < 24$

(3) $-10 < 2x-3y < 16$