$\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$ の形を $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$ の形にすることを考えます。

まず、$14 - 6\sqrt{5}$ を $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形にすることを考えます。

$14 - 6\sqrt{5} = a^2 + b^2 - 2ab$ となります。

$-6\sqrt{5} = -2ab$ と考えると、$ab = 3\sqrt{5}$ となります。

$a = 3$ とすると、$b = \sqrt{5}$ となり、

$a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14$ となり、$14 - 6\sqrt{5}$ を $(3 - \sqrt{5})^2$ と表すことができます。

したがって、

$\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = |3 - \sqrt{5}|$ となります。

$3 = \sqrt{9}$ であり、$9 > 5$ なので、$3 > \sqrt{5}$ であるため、$|3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{5}$